Série de Fourier \(S(f)(t)\)
Série de fonctions définie par : $$S(f)(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}c_n(f)e^{int}$$où \(c_n(f)\) sont les Coefficients de Fourier exponentiels

• principal théorème de convergence : si \(f\) est continue, \(\mathcal C^1\) par morceaux et \(2\pi\)-périodique, alors \(S(f)(t)\) converge normalement vers \(f\)
    
• il y a aussi le Théorème de Dirichlet et le Théorème de Féjer
    
• théorème de convergence en moyenne quadratique : Théorème de Parseval
    
• on a aussi la convergence ponctuelle si \(f\) est hölderienne ou si \(f^\prime\in L^2(-\pi,\pi)\)
• en fait, la série de Fourier d'une fonction correspond à sa décomposition dans la Base de Fourier complexe (Base hilbertienne)

Questions de cours

Le caractère hölderien nous permet d'utiliser le Principe de localisation.

Pour une fonction dont la dérivée est dans \(L^2\), on peut utiliser l'Inégalité de Cauchy-Schwarz sur le Théorème fondamental d'analyse.

\(f\) est donc \(\frac12\)-hölderienne, et les étapes précédentes s'appliquent.

Exercices

Faire \(i.\)

Il suffit de calculer le produit scalaire entre deux éléments de la base.

Faire \(ii.\)

La Série de Fourier est un développement dans une Base de Hilbert \(\to\) on peut développer et borner via l'Inégalité de Bessel.

Cela nous permet de conclure.