Définition :
On définit la série de Fourier d'une fonction périodique \(f\) comme : $$f(x)={{\sum_{n\in{\Bbb Z}}c_n(f)e^{inx} }}\quad\text{ avec }\quad c_n(f)={{\frac1{2\pi}\int_\Bbb T f(x)e^{-inx}\,dx}}$$
Propriétés
Cas impair
Proposition :
Si \(f\) est impaire, alors $$c_0(f)={{0}}$$
Proposition :
Si \(f\) est impaire, alors on peut calculer les coefficients de sa série de Fourier de la façon suivante : $$c_n(f)={{\frac i\pi\int_\Bbb T f(x)\sin(nx)\,dx}}$$
Cas paire
Proposition :
Si \(f\) est paire, alors on peut calculer les coefficients de sa série de Fourier de la façon suivante : $$c_n(f)={{\frac 1\pi\int_\Bbb T f(x)\cos(nx)\,dx}}$$
Dérivée
Dérivée d'une série de Fourier au sens des distributions :
Soit \(f\) \(\in L^2([0,2\pi])\)
Alors pour tout \(p\in{\Bbb N}\), on a : $${{f^{(p)}(\theta)}}={{\sum_{k\in{\Bbb Z}}(ik)^pc_k(f)e^{ik\theta} }}$$
(Distribution)
